Сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 9 класс

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел , , , ..., выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

(А. Толпыго)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. да, может.

Решение. Например, подходит . Для этого значения получим числа

Каждое из них начинается на одну из четырёх цифр , , , .

Комментарий. Можно доказать, что меньше четырёх различных цифр получиться не могло. Ровно четыре различные цифры получается для натуральных чисел из интервалов вида и , где — произвольное натуральное число.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 3

Докажите, что если при n∈mathbb N число 2+2√(12n2+1) целое, то оно -- точный квадрат. (Т. А. Гарманова)
Сложная
Алгебра

МОШ 2024, 9 класс, задача 3

Петя загадал положительную несократимую дробь x=frac mn. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь y, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме x+y. Как Васе за два хода гарантированно узнать x? (М. Дидин)
Сложная
Алгебра

МОШ 2020, 11 класс, задача 2

Решите уравнение operatorname{tg}π x=[lg πx]-[lg [πx]], где [a] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее a.
Сложная
Алгебра