МОШ 2022, 9 класс, задача 1

Сложная
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 9 класс

У каждого из девяти натуральных чисел , , , ..., выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?

(А. Толпыго)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. да, может.

Решение. Например, подходит . Для этого значения получим числа

Каждое из них начинается на одну из четырёх цифр , , , .

Комментарий. Можно доказать, что меньше четырёх различных цифр получиться не могло. Ровно четыре различные цифры получается для натуральных чисел из интервалов вида и , где — произвольное натуральное число.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)
Сложная
Алгебра

МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Дано квадратное уравнение ax2+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Сложная
Алгебра

МОШ 2025, 10 класс, задача 1

Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател
Сложная
Алгебра