МОШ 2025, 10 класс, задача 1
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если является числом Сумматора, а является числом Вычитатора, то является числом Сумматора, а является числом Вычитатора. Обязательно ли все числа Сумматора являются числами Вычитатора?
(А. Тертерян)
Ответ
Ответ: да, обязательно.
Решение. Пусть — некоторое число Вычитатора, — некоторое число Сумматора.
Лемма. Если — число Сумматора, то является числом Вычитатора.
Действительно, по условию получаем, что сумма чисел и является числом Сумматора. Тогда разность является числом Вычитатора. Лемма доказана.
Вернёмся к задаче. Пусть — произвольное число Сумматора. По лемме число является числом Вычитатора. Значит, разность чисел и является числом Вычитатора. Но тогда сумма чисел и , что равно , является числом Сумматора. Снова применяя лемму, получаем, что — число Вычитатора, что и требовалось.
Замечание. Из решения следует, что множества чисел, выбранных Сумматором и Вычитатором, совпадают.