МОШ 2023, 10 класс, задача 3
Периметр треугольника равен . Окружность касается стороны , продолжения стороны в точке и продолжения стороны в точке . Прямая, проходящая через середины и , пересекает описанную окружность треугольника в точках и . Найдите длину отрезка .
(Д. Бродский)
Ответ. .
Решение. Середину стороны обозначим за , середину -- за . Также нам известно, что периметр треугольника равен , то есть .
Так как точки и -- точки касания вневписанной окружности треугольника со сторонами угла , то как отрезки касательных. Как известно, длина таких отрезков -- это полупериметр треугольника .
Поскольку -- средняя линия треугольника , то . Пусть , , . Тогда , , . Также .
Из того, что хорды и описанной окружности треугольника пересекаются в точке , следует, что , а в терминах только что введённых обозначений получаем равенство
Аналогично для хорд и , пересекающихся в точке , получаем равенство
Теперь вычтем из равенство :
Поскольку , то , то есть .
Теперь подставим получившееся выражение в равенство :
Поскольку , то . Значит, . Поэтому
Решение 2. Середину стороны обозначим за , середину -- за . Поскольку -- средняя линия треугольника , то , . Отметим точку -- центр окружности . Заметим, что точка лежит на биссектрисе угла как центр вневписанной окружности .
Поскольку и , точки лежат на одной окружности (а именно, построенной на как на диаметре), поэтому точка лежит на описанной окружности треугольника .
Далее мы будем доказывать вариацию задачи из задачника Шарыгина и применим её результаты для доказательства нашей задачи. Обозначим точку касания окружности с за . Теперь заметим, что точка лежит на биссектрисе угла . Проведём эту биссектрису до пересечения с прямой . Назовём точку пересечения . Докажем, что .
Поскольку как отрезки касательных, то . С другой стороны, является внешним углом треугольника , поэтому . Поскольку как вертикальные, то (так как является внешним углом треугольника ). Значит,
Поскольку -- биссектриса, . Значит, по признаку вписанного четырёхугольника точки лежат на одной окружности, а значит, на описанной окружности треугольника . Следовательно, .
Докажем, что лежит на прямой . Продолжим за точку до пересечения с в точке . Заметим, что в треугольнике биссектриса является также и высотой, а значит, и медианой, то есть -- середина . Так как , то по теореме Фалеса пересекает в середине, то есть в точке . Таким образом, лежит на .
Точка лежит на пересечении описанной окружности треугольника и прямой , поэтому совпадает с . В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине, поэтому . Аналогично получаем . Тогда
Решение 3. Введём те же обозначения, что и в предыдущем решении: и -- середины сторон и соответственно, и -- точки касания вневписанной окружности со сторонами угла , -- центр вневписанной окружности.
Как было замечено выше, лежит на описанной окружности треугольника , поскольку , как радиусы, проведённые в точки касания. Пусть -- центр окружности, описанной вокруг треугольника . Поскольку -- диаметр, то лежит на и .
Рассмотрим гомотетию с центром и коэффициентом . При ней точки и переходят в и соответственно. Следовательно, треугольник переходит в треугольник , а точка переходит в точку . Так как -- центр вневписанной окружности треугольника , то -- центр вневписанной окружности треугольника .
Точка лежит на биссектрисе угла , в частности расстояния от неё до прямых и равны. Значит, хорды и окружности, описанной вокруг треугольника , равноудалены от центра окружности, а следовательно, равны. Поскольку , получаем .