МОШ 2026, 10 класс, задача 1
Дан остроугольный треугольник . На его описанной окружности отмечена точка , диаметрально противоположная вершине . Точки и на стороне таковы, что и (точка лежит на отрезке ). Докажите, что — биссектриса угла .
Ответ
Решение 1. Пусть — центр описанной окружности треугольника . Рассмотрим треугольники и . В них как радиусы, по условию, — общая сторона, поэтому они равны по трём сторонам. Следовательно, . Аналогично треугольники и равны по трём сторонам, поэтому . Но треугольник равнобедренный, поэтому , то есть , что и требовалось доказать.
Решение 2. Так как треугольник равнобедренный, то . Тогда
Из равнобедренного треугольника следует, что
Таким образом, . Аналогично выразив , получим такое же выражение. Следовательно, , что и требовалось доказать.
Решение 3. Продлим и до повторного пересечения с окружностью в точках и соответственно. Так как имеют место равенства вписанных углов
(и все эти углы — острые), будут равны градусные меры дуг, на которые они опираются: и . Тогда
но тогда равны вписанные углы как опирающиеся на равные дуги, что и требовалось доказать.