МОШ 2022, 11 класс, задача 2
Волейбольный чемпионат с участием команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть выиграла у , выиграла у , а выиграла у ).
(Фольклор)
Решение. Рассмотрим команды и , одержавшие одинаковое число побед, и пусть в матче между ними победила команда . Покажем, что обязательно найдется команда , которая выиграла у команды , но проиграла команде . Рассмотрим все команды, у которых выиграла команда . Среди них найдётся хотя бы одна команда, которая выиграла у команды , так как в противном случае с учётом выигрыша у команды команда набрала бы больше очков, чем команда . Таким образом, тройка команд , , удовлетворяет условию задачи.