МОШ 2022, 11 класс, задача 2

Волейбольный чемпионат с участием команд проходил в один круг (каждая команда играла с каждой ровно один раз, ничьих в волейболе не бывает). Оказалось, что какие-то две команды одержали одинаковое число побед. Докажите, что найдутся три команды, которые выиграли друг у друга по кругу (то есть выиграла у , выиграла у , а выиграла у ).

(Фольклор)

Ответ

Решение. Рассмотрим команды и , одержавшие одинаковое число побед, и пусть в матче между ними победила команда . Покажем, что обязательно найдется команда , которая выиграла у команды , но проиграла команде . Рассмотрим все команды, у которых выиграла команда . Среди них найдётся хотя бы одна команда, которая выиграла у команды , так как в противном случае с учётом выигрыша у команды команда набрала бы больше очков, чем команда . Таким образом, тройка команд , , удовлетворяет условию задачи.

Похожие задачи

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+operatorname{arctg} b>c+operatorname{arctg} d,qquad b+operatorname{arctg} a>d+operatorname{arctg} c. Докажите, что a+b>c+d. (М. Гасанов)

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 9 класс, задача 4

Некоторые клетки доски 100 × 100 покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в сред

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2022, 10 класс, задача 3

Среди любых пяти узлов обычной клетчатой бумаги обязательно найдутся два, середина отрезка между которыми — тоже узел клетчатой бумаги. А какое минимальное количество узлов сетки из правильных шестиугольников необходимо взять, чтобы среди них обязательно нашлось два, середина отрезка между которыми

Сложная

Комбинаторика

МОШ 2020, 11 класс, задача 3

За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее ч

Сложная

Комбинаторика