МОШ 2022, 11 класс, задача 3
В остроугольном треугольнике проведена биссектриса . На продолжении отрезка за точку выбрана точка так, что . Описанные окружности треугольников и пересекают отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что прямые и параллельны.
(Д. Ю. Бродский)
Решение.
Первый способ. Рассмотрим отрезок , он является общей хордой окружностей, описанных около треугольников и . Точка середина , поэтому она лежит на линии центров этих окружностей. Продлим и до пересечения с окружностями в точках и соответственно. В силу симметрии получившейся конструкции относительно прямой отрезки и равны отрезкам и соответственно. Введём следующие обозначения: , , , , , . По свойству секущей
Аналогично, для секущих и получаем . Разделив одно равенство на другое, получим . По свойству биссектрисы треугольника получаем . Отсюда , или . Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем , или , откуда, по обратной теореме о пропорциональных отрезках, следует, .
Второй способ. Отметим точки и , симметричные точкам и относительно внешней биссектрисы угла . Так как прямая , она является серединным перпендикуляром к отрезку . Поскольку является общей хордой окружностей и , при симметрии относительно они переходят в себя, поэтому точки и лежат на и соответственно. Заметим, что , поэтому четырёхугольник — вписанный, поэтому , что и доказывает требуемое.