МОШ 2022, 11 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 11 класс, Второй тур

Некоторые неотрицательные числа , , удовлетворяют равенству . Докажите, что .

(Д. В. Горяшин)

Решение. Способ 1. Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и выделим полный квадрат:

Следовательно, .

Способ 2. Числа , и неотрицательны, поэтому исходное равенство можно рассматривать как квадратное уравнение относительно : . По условию это уравнение имеет хотя бы одно решение, а значит, .

Способ 3. Если , то , и неравенство выполнено. Пусть . В силу неравенства о средних имеем . Тогда по условию , откуда, разделив на и возведя в квадрат, получаем требуемое неравенство.

Способ 4. По неравенству о средних имеем , откуда .

Похожие задачи

МОШ 2025, 10 класс, задача 1

Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n⁷-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Сложная

Алгебра