МОШ 2022, 9 класс, задача 3
Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в раз, не меняя количества монет, то у него будет предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.
(А. Галочкин)
Ответ
Ответ. или .
Решение. Обозначим через количество монет, а через — количество наклеек. Тогда условие можно переписать в виде системы уравнений
Вычтем первое уравнение из второго:
Следовательно, . Теперь сложим два изначальных уравнения:
Следовательно, . Введём обозначения , . Отметим, что , поскольку . Приравняем два выражения для :
Заметим, что числа и взаимно просты, поэтому дробь несократима. Значит, делится на . У числа всего четыре делителя: , , и . Так как , нужно разобрать три случая.
• Первый случай: . Тогда и . Значит, , откуда
Также . Несложно проверить, что этот случай подходит.
• Второй случай: . Тогда и . Значит, , откуда
Также . Несложно проверить, что этот случай подходит.
• Третий случай: . Тогда и . Значит, , откуда
Этот случай не подходит, так как должна быть хотя бы одна монета.