МОШ 2020, 9 класс, задача 1
Существует ли натуральное число, делящееся на , в котором всех цифр поровну?
Ответ
Ответ. Да, существует.
Решение. Например, подходит число
.
Поскольку , а числа и взаимно простые, достаточно отдельно убедиться в делимости приведённого числа на и на . Ясно, что на оно делится.
Чтобы показать, что оно также делится на , можно заметить, что любое число вида делится на , а наше число представляется в виде суммы чисел такого вида.
Комментарий. Перечислим и некоторые другие идеи, которые могут привести к решению.
Заметив, что , можно прийти к таким ответам, как .
Обнаружив, что , можно получить числа вида .
Также есть примеры, в которых каждая цифра повторяется по одному разу, такие как . В подборе этих чисел может помочь признак делимости на , который аналогичен признаку делимости на : если разбить запись числа на блоки по две цифры (начиная с конца), то знакопеременная сумма полученных двузначных чисел должна быть кратна (например, ).