МОШ 2022, 9 класс, задача 5

Решение. Обозначим радиусы шести равных окружностей через , а их центры — через , , , , , в порядке обхода против часовой стрелки. Рассмотрим треугольник . Заметим, что если рассмотреть окружность, вписанную в исходный треугольник, содержащий треугольник , а затем уменьшить её радиус на , оставив центр тем же, то получится окружность, вписанная в треугольник (см. рисунок ). Аналогично радиус окружности, вписанной в треугольник , на меньше, чем радиус окружности, вписанной в исходный треугольник, содержащий . Таким образом, утверждение задачи эквивалентно равенству радиусов окружностей, вписанных в треугольники и .

Опустим перпендикуляры из на , из на и т. д. Обозначим их основания через , , ..., а точку пересечения отрезков и — через . Несложно видеть, что длины отрезков , , ... равны . Рассмотрим четырёхугольник . Он вписанный, поскольку , а так как , то он является равнобокой трапецией с основаниями и . Следовательно, и . Рассматривая трапеции , , ..., получаем аналогичные равенства треугольников и отрезков (см. рисунок ; на нём закрашены три пары равных треугольников из шести).

Несложно видеть, что периметры треугольников и равны:

Также равны площади треугольников и , поскольку при вырезании из них общего шестиугольника остаётся по шесть прямоугольных треугольников, разбивающихся на пары равных. Поскольку площадь треугольника равна произведению радиуса окружности, вписанной в треугольник, и полупериметра, то из равенства площадей и равенства периметров двух треугольников следует равенство радиусов вписанных в них окружностей.

Комментарий. Существуют весьма несимметричные примеры конструкции, описанной в задаче, вроде того, что изображён на рис. . В частности, нельзя утверждать ни то, что исходные треугольники равны между собой, ни то, что вписанные в них окружности совпадают (т. е. что шестиугольник пересечения описанный).