МОШ 2022, 9 класс, задача 5
Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.
(А. Кушнир)
Ответ
Решение. Обозначим радиусы шести равных окружностей через , а их центры — через , , , , , в порядке обхода против часовой стрелки. Рассмотрим треугольник . Заметим, что если рассмотреть окружность, вписанную в исходный треугольник, содержащий треугольник , а затем уменьшить её радиус на , оставив центр тем же, то получится окружность, вписанная в треугольник (см. рисунок ). Аналогично радиус окружности, вписанной в треугольник , на меньше, чем радиус окружности, вписанной в исходный треугольник, содержащий . Таким образом, утверждение задачи эквивалентно равенству радиусов окружностей, вписанных в треугольники и .
Опустим перпендикуляры из на , из на и т. д. Обозначим их основания через , , ..., а точку пересечения отрезков и — через . Несложно видеть, что длины отрезков , , ... равны . Рассмотрим четырёхугольник . Он вписанный, поскольку , а так как , то он является равнобокой трапецией с основаниями и . Следовательно, и . Рассматривая трапеции , , ..., получаем аналогичные равенства треугольников и отрезков (см. рисунок ; на нём закрашены три пары равных треугольников из шести).
Несложно видеть, что периметры треугольников и равны:
Также равны площади треугольников и , поскольку при вырезании из них общего шестиугольника остаётся по шесть прямоугольных треугольников, разбивающихся на пары равных. Поскольку площадь треугольника равна произведению радиуса окружности, вписанной в треугольник, и полупериметра, то из равенства площадей и равенства периметров двух треугольников следует равенство радиусов вписанных в них окружностей.
Комментарий. Существуют весьма несимметричные примеры конструкции, описанной в задаче, вроде того, что изображён на рис. . В частности, нельзя утверждать ни то, что исходные треугольники равны между собой, ни то, что вписанные в них окружности совпадают (т. е. что шестиугольник пересечения описанный).
