МОШ 2022, 10 класс, задача 4
Дан многочлен степени с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом . Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале ?
(А. Канель-Белов)
Ответ. .
Решение. Если на интервале лежат все корня многочлена, то по теореме Виета свободный член многочлена должен быть равен их произведению, следовательно будет тоже лежать на интервале и не будет целым.
Докажем, что в качестве примера подойдёт многочлен
Заметим, что при всех число
является положительным при чётном и является отрицательным при нечётном . Таким образом, на интервале многочлен меняется знак по крайней мере раз, и следовательно имеет хотя бы корень.