МОШ 2022, 10 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 10 класс

Точки и — середины сторон и треугольника . Касательная к описанной окружности треугольника в точке пересекает прямую в точке . Докажите, что описанная окружность треугольника касается .

(Д. Бродский)

Решение. По свойству касательной к описанной окружности имеем . Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Поскольку и — соответствующие медианы в этих подобных треугольниках, имеем . Наконец, поскольку , имеем . Итак, , и по свойству касательной к описанной окружности получаем, что описанная окружность треугольника касается , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия