МОШ 2022, 10 класс, задача 2

Точки и — середины сторон и треугольника . Касательная к описанной окружности треугольника в точке пересекает прямую в точке . Докажите, что описанная окружность треугольника касается .

(Д. Бродский)

Ответ

Решение. По свойству касательной к описанной окружности имеем . Следовательно, треугольники и подобны по двум углам. Поскольку и — соответствующие медианы в этих подобных треугольниках, имеем . Наконец, поскольку , имеем . Итак, , и по свойству касательной к описанной окружности получаем, что описанная окружность треугольника касается , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2020, 9 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике ABC (AB

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и AB взяли точки K и L соответственно так, что прямая IK перпендикулярна CI, а KL параллельна BI. Докажите, что треугольник LKI — равнобедренный. (М. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 9 класс, задача 2

Прямоугольники ABCD и DEFG расположены так, что точка D лежит на отрезке BF, а точки B, C, E, F лежат на одной окружности (см. рисунок). Докажите, что angle ACE = angle CEG. Рисунок к условию задачи 2 (Е. Бакаев)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2025, 9 класс, задача 3

В треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и HTR? Рисунок

Сложная

Планиметрия