МОШ 2022, 11 класс, задача 4

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

(П. А. Бородин)

Ответ

Решение. Пусть в равнобедренной трапеции с основаниями проведена диагональ , так что первый жук ползает по циклу , второй — по циклу . Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке . За время обхода первым жуком полного цикла из снова в второй жук сдвигается по своему циклу на в одну и ту же сторону. Поскольку

при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше до точки по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали .

Рисунок к решению задачи 4

Похожие задачи

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AL. На продолжении отрезка LA за точку A выбрана точка K так, что AK=AL. Описанные окружности треугольников BLK и CLK пересекают отрезки AC и AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и BC параллельны. (Д. Ю. Бродский)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 10 класс, задача 4

На стороне BC треугольника ABC выбраны точки D и E так, что BD=DE=CE. На отрезках AB, AC, AE и AD выбраны точки L, K, P и Q (все точки A, B, C, D, E, K, L, P, Q различные) соответственно так, что angle EAD=angle PDE=angle QED=angle AKP=angle ALQ. Докажите, что LK+DEle AD+AE.

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 10 класс, задача 5

На плоскости даны две окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом. На окружности ω₁ выбран диаметр AB, а на окружности ω₂ выбран диаметр CD. Рассмотрим всевозможные положения точек A, B, C и D, при которых ABCD -- выпуклый описанный четырёхугольник, и п

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 11 класс, задача 5

В тетраэдре ABCD скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка AH_A, где H_A -- точка пересечения высот грани BCD, провели прямую h_A перпендикулярно плоскости BCD. Аналогичным образом определили точки H_B, H_C, H_D и построили

Очень сложная

Планиметрия