МОШ 2022, 11 класс, задача 4
В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.
(П. А. Бородин)
Решение. Пусть в равнобедренной трапеции с основаниями проведена диагональ , так что первый жук ползает по циклу , второй — по циклу . Рассмотрим моменты времени, в которые первый жук оказывается в точке . За время обхода первым жуком полного цикла из снова в второй жук сдвигается по своему циклу на в одну и ту же сторону. Поскольку
при таких сдвигах в один из рассматриваемых моментов времени второй жук окажется на расстоянии меньше до точки по ходу своего движения, а значит, встретится с первым жуком на диагонали .
