МОШ 2021, 11 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 11 класс, Второй тур

Многочлен имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что .

(Фольклор)

Решение. Пусть — корни многочлена . По условию . Заметим, что (а значит, все корни положительны), так как иначе , что противоречит максимальности корня . Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пользуясь формулами Виета для коэффициентов , , , получаем

откуда и следует требуемое неравенство.

Второй способ. Заметим, что . Кроме того,

так как многочлен положителен при .

Похожие задачи

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)

Сложная

Алгебра

МОШ 2023, 10 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2025, 10 класс, задача 1

Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател

Сложная

Алгебра