МОШ 2021, 11 класс, задача 1

Многочлен имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что .

(Фольклор)

Ответ

Решение. Пусть — корни многочлена . По условию . Заметим, что (а значит, все корни положительны), так как иначе , что противоречит максимальности корня . Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. Пользуясь формулами Виета для коэффициентов , , , получаем

откуда и следует требуемое неравенство.

Второй способ. Заметим, что . Кроме того,

так как многочлен положителен при .

Похожие задачи

МОШ 2025, 11 класс, задача 1

Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом. (М. Евдокимов)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 1

Некоторые неотрицательные числа a, b, c удовлетворяют равенству a+b+c=2√(abc). Докажите, что bcge b+c. (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2020, 11 класс, задача 1

Приведите пример числа, делящегося на 2020, в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.

Сложная

Алгебра