МОШ 2021, 10 класс, задача 2

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем .

(А. Блинков)

Ответ

Решение 1. Рассмотрим трапецию с основаниями и , где . В треугольнике

где — высота из точки . Тем самым угол , аналогично . В треугольнике , где точка — точка пересечения диагоналей, угол , а значит меньший угол не больше, чем градусов как смежный.

Решение 2. Трапеция вписана в окружность. Её боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не больше, чем градусов. А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия

МОШ 2026, 11 класс, задача 2

Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и AB взяли точки K и L соответственно так, что прямая IK перпендикулярна CI, а KL параллельна BI. Докажите, что треугольник LKI — равнобедренный. (М. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 9 класс, задача 4

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC— в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY, касается ω

Сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 11 класс, задача 3

В остроугольном треугольнике ABC (AB

Сложная

Планиметрия