МОШ 2021, 10 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 10 класс

Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем .

(А. Блинков)

Решение 1. Рассмотрим трапецию с основаниями и , где . В треугольнике

где — высота из точки . Тем самым угол , аналогично . В треугольнике , где точка — точка пересечения диагоналей, угол , а значит меньший угол не больше, чем градусов как смежный.

Решение 2. Трапеция вписана в окружность. Её боковая сторона вдвое меньше основания и, значит, не длиннее радиуса окружности. Поэтому боковые стороны стягивают дуги не больше, чем градусов. А угол между диагоналями равен полусумме этих дуг.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия