МОШ 2021, 11 класс, задача 5
Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
(М. А. Евдокимов)
Ответ: .
Решение.
Пусть ребро исходного куба, из которого получился кубооктаэдр, равно . Рассмотрим сечения кубооктаэдра плоскостью, параллельной основанию куба, на расстоянии от основания. В сечении будут получаться восьмиугольники, все углы которых равны . Для доказательства этого факта достаточно рассмотреть точки пересечения плоскости сечения с рёбрами куба (см. рис.). Найдём значение , при котором соседние стороны получающегося в сечении восьмиугольника равны, тогда он окажется правильным. Длина стороны, которая лежит в грани куба, находится из пропорции
Другая сторона — это гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника, длина которой равна . Поэтому достаточно потребовать, чтобы выполнялось равенство
т. е.
Итак, правильный восьмиугольник в сечении получиться может. Предположим, что в сечении кубооктаэдра некоторой плоскостью получился правильный -угольник и . Тогда вершины этого -угольника должны лежать на рёбрах кубооктаэдра, причём одному ребру не может принадлежать более двух вершин -угольника. Рассмотрим сечение исходного куба, которое является правильным шестиугольником (см. рис.), а также сечения, которые получаются из данного поворотом на , и относительно вертикальной оси куба. Заметим, что объединение сторон этих четырёх правильных шестиугольников есть объединение всех рёбер кубооктаэдра. Покажем, что на сторонах какого-то из четырёх выбранных правильных шестиугольников лежит хотя бы вершины -угольника. Действительно, если на сторонах каждого такого шестиугольника лежит не более двух вершин, то всего вершин будет не более восьми. Следовательно, плоскость сечения -угольника совпадает с плоскостью этого шестиугольника и в сечении кубооктаэдра получается шестиугольник. Получаем противоречие.