МОШ 2021, 9 класс, задача 1
Положительные числа и таковы, что . Что больше, или ?
(В. Клепцын, А. Гусев)
Ответ. .
Решение 1. Рассмотрим искомое сравнение . Умножим его на равенство (левую часть на левую, правую на правую). При умножении на положительное число (а положительно) неравенство сохранится. Получаем . Отсюда ясно, что левая часть больше правой.
Решение 2. Рассмотрим искомое сравнение . Прибавим к нему равенство , сведя к сравнению . Перенеся всё в левую часть, можно заметить, что оно равносильно . Чтобы убедиться в том, что левая часть больше, осталось показать .
Действительно, предположим, что . Подстановка в исходное равенство даёт , противоречие.
Решение 3. Домножив равенство на , получим , откуда . Тогда достаточно сравнить и , то есть сравнить с . Предположим, что . Тогда , противоречие. Значит, , откуда .