МОШ 2021, 10 класс, задача 6
Верхней целой частью числа называют наименьшее целое число, большее или равное . Докажите, что существует такое вещественное число , что для любого натурального расстояние от верхней целой части до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно .
(Д. Креков)
Решение. Пусть — больший корень многочлена , тогда . Докажем по индукции, что число целое при любом целом неотрицательном . Действительно, это верно при , . Кроме того,
что позволяет проделать шаг индукции.
Положим , тогда
и , значит и есть верхняя целая часть , а ближайший к ней квадрат целого числа равен .
Примечание. Конечно же, в качестве можно взять любое число, являющееся большим корнем многочлена вида , где — натуральное число, не меньшее . Как легко видеть, расстояние от -й степени такого числа до ближайшего целого стремится к (это следует из того, что целое). Более общо, если — приведенный многочлен с целыми коэффициентами, у которого все корни, кроме одного, по модулю меньше , то этот корень вещественный и имеет то свойство, что расстояние от -й степени этого корня до ближайшего целого числа стремится к (это следует из того, что сумма -х степеней всех корней такого многочлена, будучи симметрической функцией от корней с целыми коэффициентами, целочисленно выражается через элементарные симметрические функции от этих корней, которые являются целыми).
Числа с таким свойством, являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффициентами, называются числами Пизо. Они представляют интерес в связи с задачами диофантовой аппроксимации и изучались в работах Туэ, Харди, Пизо. Свое название они получили после публикации Шарля Пизо, который в своей диссертации открыл много замечательных свойств этих чисел.