МОШ 2021, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике точка — центр описанной окружности. Точка симметрична точке относительно стороны . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что луч является биссектрисой угла .

(М. А. Евдокимов)

Ответ

Решение.

Рисунок к решению задачи 2

Точка — центр описанной окружности треугольника , следовательно, . Треугольник равнобедренный, поэтому

Точки и симметричны относительно прямой , откуда . Следовательно, четырёхугольник вписанный (см. рис. --). Дуги и равны в силу симметрии, поэтому . Значит, луч является биссектрисой угла , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2020, 9 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике ABC (AB

Сложная

Планиметрия

МОШ 2024, 11 класс, задача 2

В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N -- середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C. (И. Михайлов)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2025, 10 класс, задача 2

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 3

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника MXY касается окружност

Сложная

Планиметрия