МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2021, 11 класс, Второй тур

В остроугольном треугольнике точка — центр описанной окружности. Точка симметрична точке относительно стороны . Прямые и пересекаются в точке . Докажите, что луч является биссектрисой угла .

(М. А. Евдокимов)

Решение.

Рисунок к решению задачи 2

Точка — центр описанной окружности треугольника , следовательно, . Треугольник равнобедренный, поэтому

Точки и симметричны относительно прямой , откуда . Следовательно, четырёхугольник вписанный (см. рис. --). Дуги и равны в силу симметрии, поэтому . Значит, луч является биссектрисой угла , что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)

Сложная

Планиметрия