МОШ 2023, 11 класс, задача 2
Пусть — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка
выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников и имеют общую хорду, перпендикулярную . Докажите, что радиусы данных окружностей
равны.
(А. А. Заславский)
Решение.
Способ 1. Заметим, что линия центров перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым и . Пусть — середина отрезка , — середина отрезка . Тогда , и, поскольку , прямые и параллельны. Далее, и при этом , поэтому . Заключаем, что четырёхугольник — параллелограмм по определению, следовательно, . Кроме того, поскольку отрезки и равны, то по двум катетам будут равны прямоугольные треугольники и , следовательно, равны их гипотенузы и , являющиеся также радиусами наших окружностей, что и требовалось.
Способ 2. Предположим противное, радиусы окружностей и , описанных около треугольников и соответственно, различны.
При параллельном переносе на отрезок перейдёт в отрезок , окружность перейдёт в окружность , а прямая перейдёт в себя. Причём не может совпадать с , поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров , совпадающая с прямой , перпендикулярна общей хорде . Таким образом, прямая параллельна общей хорде окружностей и и, следовательно, перпендикулярна прямой . Но тогда параллелограмм является прямоугольником, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей и равны.