МОШ 2023, 10 класс, задача 5

Ответ. Точка является точкой касания окружностей.

Решение. Итак, предположим, что диаметры выбраны так, что четырёхугольник является описанным. Тогда . Пусть и -- центры окружностей и соответственно, а -- точка касания. , так как угол, опирающийся на диаметр, является прямым. По свойству медианы прямоугольного треугольника и , следовательно

Утверждение. Длина средней линии выпуклого четырёхугольника (т.е. отрезка, соединяющего середины его противоположных сторон) не превосходит полусуммы двух других сторон и равна ей, если эти стороны параллельны и только в этом случае.

Доказательство. Итак, пусть -- четырёхугольник, и -- середины и соответственно. Отметим точку -- середину . Тогда и являются средними линиями в треугольниках и . Следовательно, и . По неравенству треугольника . Равенство достигается, только когда точки , и лежат на одной прямой. В этом случае и параллельны этой прямой, так как она будет содержать средние линии треугольников и .

Таким образом, согласно вышедоказанному утверждению, . Ясно, что из параллельности. Кроме того, , так как треугольник равнобедренный. Таким образом, является биссектрисой угла . Аналогично , и тоже являются биссектрисами углов четырёхугольника. Таким образом, точка , будучи точкой пересечения биссектрис, является центром вписанной окружности.

Наконец, покажем, что ГМТ непусто, то есть докажем, что найдётся хотя бы одно положение диаметров, при котором четырёхугольник является описанным. Обозначим через радиус окружности . Не умаляя общности, можно считать, что . Если , то проведём диаметры так, чтобы они были перпендикулярны . Тогда четырёхугольник окажется квадратом. Пусть . Построим диаметр так, что . Проведём касательные к в точках и . Они пересекают в четырёх точках, образующих прямоугольник. В качестве диаметра возьмём одну из диагоналей этого прямоугольника (см. картинку). Тогда четырёхугольник является трапецией. Как и раньше, можно доказать, что точка является точкой пересечения его биссектрис, следовательно он является описанным.

Другое решение. Участники олимпиады придумали другое доказательство, основанное на следующей лемме.

Лемма. Пусть дан четырёхугольник и точка . Если , то существует точка, изогонально сопряжённая точке относительно четырёхугольника . Более того, такой точкой является образ точки при изоциклической инволюции.

О свойствах изогонального сопряжения в четырёхугольнике и изоциклической инволюции можно почитать в проекте ЛКТГ "Кубика фокусов и циркулярные кубики" (https://www.turgor.ru/lktg/2020/2/index.html) или посмотреть здесь (https://youtu.be/a0CqrAzJ54c).

Итак, пусть нам дан описанный четырёхугольник и точка так, что описанные окружности треугольников и касаются. Пусть и -- описанные окружности треугольников и , а -- вторая точка их пересечения. Так как , по лемме точки и изогонально сопряжены. Тогда, с одной стороны, биссектрисы углов и пересекаются в середине дуги окружности , биссектрисы углов и пересекаются в середине дуги окружности . С другой стороны, биссектрисы углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке. Такое возможно, только если окружности и касаются, то есть . Следовательно, точка изогонально сопряжена сама себе, поэтому является точкой пересечения биссектрис и центром вписанной окружности.