МОШ 2023, 11 класс, задача 3

Дан многочлен степени с целыми коэффициентами, имеющий различных целых корней. Докажите, что многочлен имеет различных действительных корней.

(М. И. Малкин)

Ответ

Решение. Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания . Тогда многочлен можно представить в виде

Покажем, что значение многочлена в любой точке локального экстремума по модулю больше (тогда при сдвиге графика многочлена на единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена находятся на промежутках , .

Вычислим значения в точках . Так как корней не меньше шести, то

В произведении мы оставляем шесть наименьших по модулю множителей, остальные (есть при ) ещё больше.

Похожие задачи

МОШ 2026, 10 класс, задача 5

Назовём набор из k последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном k количество плохих наборов из k после

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

МОШ 2020, 11 класс, задача 6

На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больш

Очень сложная

Алгебра

МОШ 2026, 11 класс, задача 5

Назовём натуральное N>1 хорошим, если найдутся такие натуральные числа a₁,ldots,a_N, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют N(N-1)/2 последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее 10¹⁰⁰? (А. Тертерян)

Очень сложная

Алгебра

Комбинаторика

МОШ 2025, 10 класс, задача 4

Существуют ли такие натуральные числа m и n и такой многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(m) не делится на n, но f(p^k) делится на n для любого простого числа p и любого натурального k? (А. Волостнов, С. Гришин)

Очень сложная

Алгебра