МОШ 2023, 11 класс, задача 3
Дан многочлен степени с целыми коэффициентами, имеющий различных целых корней. Докажите, что многочлен имеет различных действительных корней.
(М. И. Малкин)
Решение. Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания . Тогда многочлен можно представить в виде
Покажем, что значение многочлена в любой точке локального экстремума по модулю больше (тогда при сдвиге графика многочлена на единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена находятся на промежутках , .
Вычислим значения в точках . Так как корней не меньше шести, то
В произведении мы оставляем шесть наименьших по модулю множителей, остальные (есть при ) ещё больше.