МОШ 2023, 11 класс, задача 3

Решение.

Способ 1. Пусть , — середины высот и , а , — середины отрезков и . Обозначим окружности, вписанные в треугольники , , через , , а их центры — через и соответственно. Треугольники и — равнобедренные, поэтому точки и лежат на соответствующих высотах и этих треугольников. Отрезки и являются биссектрисами треугольников и , поэтому, записывая для них основное свойство биссектрисы, получаем соотношения: , . Разделив первое на второе и учитывая равенство , получаем, что . Поскольку — центр гомотетии, переводящей в , то лежит на линии центров и верно равенство: . Но тогда , где обозначает расстояние от точки до прямой . С другой стороны, по свойству средней линии и , то есть и . Значит, и — прямоугольники, то есть и . Тогда выполнены равенства , где последнее равенство выполнено, поскольку и есть в точности общие перпендикуляры к парам параллельных прямых и . Собирая все доказанные равенства вместе, получаем, что , откуда немедленно следует, что точки , и лежат на одной прямой.

Способ 2. Как и в первом решении обозначим окружности, вписанные в треугольники и , через , , их центры через и соответственно, а середины отрезков и — через и . Пусть также — точка пересечения внешних касательных к , . Заметим, что четвёрка точек — гармоническая, то есть двойное отношение равно . Спроецируем эту четвёрку точек на прямую с центром в точке . Точка лежит на прямой , поскольку эта прямая является одной из внешних касательных к и , поэтому перейдёт в . Точка перейдёт в точку пересечения прямых и , которая является серединой , поскольку в треугольнике отрезок — средняя линия. Точка перейдёт в бесконечно удалённую точку прямой , поскольку . Но при центральной проекции сохраняется двойное отношение четвёрки точек, а четвёрка — гармоническая. Значит, образом точки при данной проекции является точка , что и требовалось доказать.