МОШ 2023, 10 класс, задача 1
Про четыре целых числа , , , известно, что
. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на .
(А. Доледенок)
Ответ
Решение. Преобразуем уравнение к виду
После замены и получаем . Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители:
Таким образом, или . Пусть . Сумма двух положительных целых чисел не меньше двух, следовательно, или . Не умаляя общности, пусть . Тогда . Итого . Что и требовалось доказать.