МОШ 2023, 10 класс, задача 1

Средняя

Алгебра

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2023, 10 класс

Про четыре целых числа , , , известно, что
. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на .

(А. Доледенок)

Ответ

Решение. Преобразуем уравнение к виду

После замены и получаем . Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители:

Таким образом, или . Пусть . Сумма двух положительных целых чисел не меньше двух, следовательно, или . Не умаляя общности, пусть . Тогда . Итого . Что и требовалось доказать.

Похожие задачи

МОШ 2021, 10 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2025, 11 класс, задача 2

Дана последовательность a_n=n!(n²-2025n+1) для всех натуральных n. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности. (М. Лисицын)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 3

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число t > 1 (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в t раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет 100 предметов. Если вместо этого

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n-p также является простым числом. (И. Акулич)

Средняя

Алгебра