МОШ 2023, 9 класс, задача 5
Правильный -угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
(А. Юран)
Ответ
Решение. Для каждой фигуры — параллелограмма и треугольника — рассмотрим все вершины фигур на границе. Для каждой фигуры проведём между соседними точками на границе векторы так, чтобы их направление соответствовало обходу границы фигуры против часовой стрелки.
Рассмотрим произвольную прямую и все векторы, параллельные ей. Сумма этих векторов равна нулю. Действительно, к каждой линии разреза, параллельной , примыкают наборы противоположных векторов. Если параллельна сторонам -угольника, то сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам -угольника, также равна нулю, так как они будут направлены в противоположные стороны и равны по длине.
С другой стороны, в каждом параллелограмме сумма векторов, соответствующих противоположным сторонам, равна нулю. Следовательно, и в двух треугольниках сумма всех векторов, параллельных , также будет нулевой.
Выберем в качестве прямую, параллельную какой-нибудь из сторон первого треугольника. Получим, что набор векторов второго треугольника, параллельных , — это векторы, противоположные векторам первого треугольника. Аналогично для двух других сторон. Поэтому для каждой стороны первого треугольника существует параллельная и равная ей по длине сторона второго треугольника. Следовательно, треугольники равны.
Замечание. Разрезания из условия существуют, причём они могут быть устроены достаточно несимметричным образом (например, не обязательно все стороны треугольников параллельны сторонам -угольника, треугольники не обязательно: образуют параллелограмм, примыкают к сторонам -угольника, симметричны относительно центра -угольника). На рисунке 5 приведён пример разрезания -угольника.
