МОШ 2023, 11 класс, задача 1

Средняя

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2023, 11 класс, Первый тур

К графикам функций и провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого .

(В. А. Клецын, Г. А. Мерзон)

Ответ

Решение. Абсцисса любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству . В этой точке касательная к графику функции имеет угловой коэффициент , а касательная к графику функции имеет угловой коэффициент . Поскольку , эти касательные перпендикулярны друг другу.

Похожие задачи

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции f(x)=frac1{2^x+1}? (Д. В. Горяшин)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n-p также является простым числом. (И. Акулич)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны ln 2, ln 3, ln 4, ldots, ln 20, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах? (М. Евдокимов)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 1

В коллекции Алика есть два типа предметов: значки и браслеты. Значков больше, чем браслетов. Алик заметил, что если он увеличит количество браслетов в некоторое (не обязательно целое) число раз, не изменив количества значков, то в его коллекции будет 100 предметов. А если, наоборот, он увеличит в эт

Средняя

Алгебра