МОШ 2023, 11 класс, задача 1

К графикам функций и провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого .

(В. А. Клецын, Г. А. Мерзон)

Ответ

Решение. Абсцисса любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству . В этой точке касательная к графику функции имеет угловой коэффициент , а касательная к графику функции имеет угловой коэффициент . Поскольку , эти касательные перпендикулярны друг другу.

Похожие задачи

МОШ 2020, 10 класс, задача 1

Приведите пример такого квадратного трехчлена P(x), что при любом x справедливо равенство P(x)+P(x+1)+ldots+P(x+10)=x².

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 11 класс, задача 1

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции f(x)=frac1{2^x+1}? (Д. В. Горяшин)

Средняя

Алгебра

МОШ 2024, 9 класс, задача 1

Действительные числа a,b,c,d таковы, что frac ab+frac ba=frac cd+frac dc. Докажите, что произведение каких-то двух чисел из a,b,c,d равно произведению двух других. (А. Доледенок, В. Ретинский)

Средняя

Алгебра

МОШ 2022, 10 класс, задача 1

Найдите наибольшее натуральное n, обладающее следующим свойством: для любого простого нечётного p, меньшего n, разность n-p также является простым числом. (И. Акулич)

Средняя

Алгебра