МОШ 2023, 11 класс, задача 4
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из гирь, веса которых равны , , ,..., . Докажите, что можно выбрать из них и разложить по гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
(М. А. Евдокимов)
Ответ
Решение. Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят , поэтому равенство равносильно равенству .
Воспользовавшись формулой , получаем
т. е. . Добавив в этом равенстве к обеим частям и разложив на множители, получим . Выбирая теперь различные натуральные и раскладывая на множители, находим подходящие тройки, в которых каждое число не превосходит . Результат для и представлен в следующей таблице:
| ; | ; |
Теперь покажем, как разложить гири по чашам:
| 1-я чаша | 2-я чаша | |
|---|---|---|
(в таблице указано значение для гири весом ).
Таким образом нам удалось выбрать гирь и разложить по гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.