МОШ 2026, 11 класс, задача 5
Надя загадала многочлен с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта:
• достигается ли максимальное значение , и если да, то чему оно равно;
• достигается ли минимальное значение , и если да, то чему оно равно.
Максим хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое число , что . Докажите, что Максим может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Максим сам решает, когда ему перестать задавать вопросы.)
(Л. Шатунов)
Решение. Пусть Максим называет только многочлены, имеющие корень . Тогда если на каких-то ходах он назовёт многочлены , и Надя скажет, что минимум многочлена равен , а
максимум многочлена равен , причём (назовём такую ситуацию приятной),
то Максим может назвать число . Действительно, в такой ситуации
,
откуда следует, что . Осталось лишь показать, что Максим
может последовательно сделать несколько ходов так, чтобы приятная ситуация гарантированно
произошла. Приведём несколько способов этого добиться.
Первый способ.
Разобьём стратегию Максима на два шага.
Первый шаг. Пусть Максим последовательно называет многочлены
, , , ,... ,, ,...
до тех пор, пока не услышит, последовательно назвав многочлены и (для
какого-то ), что сумма с первым из них достигает минимума, а сумма со вторым из них
достигает максимума.
Заметим, что когда-то такое обязательно произойдёт. Действительно, при , превосходящем степень многочлена (при , если ), оба многочлена и имеют
чётную степень, и у первого из них старший коэффициент положителен, а у второго отрицателен,
потому первый достигает минимума, а второй — максимума.
Итак, пусть Надя сказала, что и достигают минимума
и максимума соответственно. Тогда не может быть многочленом степени выше . Действительно, в противном случае многочлен имеет ту же степень и тот же старший
коэффициент что и , и значит эта степень чётна, а старший коэффициент положителен (так как
достигает минимума), но, проводя аналогичное рассуждение для ,
получаем, что старший коэффициент отрицателен — противоречие.
Второй шаг. Для положим . Пусть теперь Максим последовательно называет многочлены
, для
Докажем, что приятная ситуация произойдёт, каким бы ни был загаданный Надей многочлен.
В силу непрерывности многочленов и в точке существует такое ,
что для любого из неравенства следует, что
Также заметим, что для любого такого , что (), имеем
Пусть натуральное число таково, что и . Тогда заметим, что в силу оценок 1 и 2
откуда вытекает, что минимальное значение многочлена существует и больше . Аналогично, если натуральное число таково, что и , то
и максимальное значение многочлена существует и не превосходит .
Таким образом, для , удовлетворяющего условиям и , получаем, что минимальное значение многочлена отличается от максимального значения многочлена меньше чем на , то есть после соответствующего хода или ещё раньше возникает приятная ситуация, что и требовалось доказать.
Второй способ.
Лемма. Пусть многочлен (c вещественными коэффициентами) имеет чётную степень и таков, что модуль каждого из его коэффициентов при нечётных степенях не превосходит положительного вещественного числа , а каждый из коэффициентов при чётных степенях от до включительно не меньше, чем . Тогда для всякого вещественного .
Доказательство. Зафиксируем произвольное . Чётная степень всякого вещественного числа неотрицательна, тогда из условий на коэффициенты многочлена понятно, что
откуда
тем самым в силу произвольности выбора лемма доказана.
Перейдём к решению задачи. Для всякого натурального положим
Например,
Пусть Максим последовательно называет многочлены:
Докажем, что приятная ситуация произойдёт, каким бы ни был загаданный Надей многочлен.
Пусть загаданный многочлен это
где — натуральное, а — некоторые вещественные числа (любой многочлен представляется в таком виде, возможно, некоторые коэффициенты равны ). Пусть модуль каждого из чисел не превосходит некоторого натурального числа . Положим
Заметим, что удовлетворяет условиям доказанной леммы (например, для ). Тогда для всякого выполнено , и, кроме того,
Далее пусть . Тогда
а значит, в силу ранее доказанного получаем, что для всякого выполнено
Значит,
Это означает, что многочлен достигает минимума (поскольку это ограниченный снизу многочлен), и этот минимум не меньше, чем . Аналогично (поменяв в рассуждении на ) получаем, что достигает минимума, и этот минимум не меньше, чем , а значит достигает максимума, и этот максимум не больше, чем .
Итак, разность максимума и минимума меньше, чем , значит приятная ситуация гарантированно произойдёт на каком-то из ходов до -го включительно.