МОШ 2020, 11 класс, задача 2

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 11 класс, Второй тур

Решите уравнение

где обозначает наибольшее целое число, не превосходящее .

Ответ. — любое целое неотрицательное число.

Решение. Правая часть уравнения имеет смысл при . Пусть , где — неотрицательное целое число. Тогда . Но поскольку также имеем , получаем . Следовательно, при правая часть уравнения тождественно равна нулю. Значит, решениями будут все неотрицательные целые значения .

Похожие задачи

МОШ 2025, 10 класс, задача 1

Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n⁷-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2023, 10 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Алгебра