Средняя
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 10 класс

МОШ 2020, 10 класс, задача 1

Приведите пример такого квадратного трехчлена , что при любом справедливо равенство

.

Фото или PDF, до 20 МБ на файл, до 10 файлов. Ответ проверят вручную.
Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть искомый многочлен . Тогда

.

Получаем равенство квадратных трехчленов и . Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений

которая имеет единственное решение , , .

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 1

Про четыре целых числа a, b, c, d известно, что a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на 1. (А. Доледенок)
Средняя
Алгебра

МОШ 2021, 10 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. Евдокимов)
Средняя
Алгебра

МОШ 2023, 11 класс, задача 1

К графикам функций y = cos x и y = aoperatorname{tg} x провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого a ne 0. (В. А. Клецын, Г. А. Мерзон)
Средняя
Алгебра

МОШ 2020, 9 класс, задача 1

Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0,1,2,ldots,9 поровну?
Средняя
Алгебра