МОШ 2020, 10 класс, задача 1

Средняя
Алгебра
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 10 класс

Приведите пример такого квадратного трехчлена , что при любом справедливо равенство

.

Ответ

Ответ. .

Решение. Пусть искомый многочлен . Тогда

.

Получаем равенство квадратных трехчленов и . Это равносильно равенству коэффициентов, то есть системе уравнений

которая имеет единственное решение , , .

Похожие задачи

МОШ 2021, 10 класс, задача 1

На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. Евдокимов)
Средняя
Алгебра

МОШ 2020, 9 класс, задача 1

Существует ли натуральное число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0,1,2,ldots,9 поровну?
Средняя
Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 3

Найдите наименьшее натуральное число N>9, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7. (М. А. Евдокимов)
Средняя
Алгебра

МОШ 2025, 11 класс, задача 2

Дана последовательность an=n!(n2-2025n+1) для всех натуральных n. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности. (М. Лисицын)
Средняя
Алгебра