МОШ 2020, 11 класс, задача 4

Ответ. .

Первое решение.

Пусть и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно, а — середина стороны . Треугольники и подобны, так как у них угол общий, а два других угла равны по условию. Поэтому оставшиеся углы этих треугольников и также равны (см. рис.). Это означает, что описанная окружность треугольника касается прямой , а радиус перпендикулярен касательной . Кроме того, лежит на серединном перпендикуляре к стороне . Поэтому отрезок длины является ортогональной проекцией отрезка на прямую . Но проекция не длиннее отрезка, поэтому , причём равенство достигается, когда угол равен , так как в этом случае — середина стороны , а — середина стороны , — средняя линия треугольника .

Второе решение.

Рассмотрим случай, когда треугольник остроугольный, см. рис. (остальные случаи разбираются аналогично).

По теореме о касательной и секущей . Далее, , следовательно, подобны равнобедренные треугольники и , поэтому равны углы при их основаниях. Поскольку — серединный перпендикуляр отрезка , получаем

.

Кроме того,

,

следовательно, треугольники и подобны. Из подобия получаем

,

причём неравенство обращается в равенство, когда точка лежит на отрезке , т. е. треугольник прямоугольный.