МОШ 2020, 11 класс, задача 4
На стороне треугольника взяли такую точку D, что угол равен углу . Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников и , если ?
Ответ. .
Первое решение.
Пусть и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно, а — середина стороны . Треугольники и подобны, так как у них угол общий, а два других угла равны по условию. Поэтому оставшиеся углы этих треугольников и также равны (см. рис.). Это означает, что описанная окружность треугольника касается прямой , а радиус перпендикулярен касательной . Кроме того, лежит на серединном перпендикуляре к стороне . Поэтому отрезок длины является ортогональной проекцией отрезка на прямую . Но проекция не длиннее отрезка, поэтому , причём равенство достигается, когда угол равен , так как в этом случае — середина стороны , а — середина стороны , — средняя линия треугольника .
Второе решение.
Рассмотрим случай, когда треугольник остроугольный, см. рис. (остальные случаи разбираются аналогично).
По теореме о касательной и секущей . Далее, , следовательно, подобны равнобедренные треугольники и , поэтому равны углы при их основаниях. Поскольку — серединный перпендикуляр отрезка , получаем
.
Кроме того,
,
следовательно, треугольники и подобны. Из подобия получаем
,
причём неравенство обращается в равенство, когда точка лежит на отрезке , т. е. треугольник прямоугольный.