МОШ 2020, 9 класс, задача 2

Средняя
Комбинаторика
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 9 класс

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. Да, всегда.

Решение. Рассмотрим два треугольника, образованных такими шестью палочками. Упорядочим длины сторон первого треугольника и обозначим их через ; длины сторон второго аналогично обозначим через ; также без ограничения общности считаем, что самая длинная палочка оказалась в первом треугольнике, то есть . Из неравенства треугольника следует, что и .

Тогда возьмём в качестве сторон искомого треугольника , , . Осталось проверить, что выполнены все три неравенства треугольника:

;

;

.

Комментарий. Существуют и другие способы получить требуемый треугольник. Например, если упорядочить длины всех шести палочек в порядке убывания , то можно составить треугольник со сторонами , , .

Похожие задачи

МОШ 2020, 9 класс, задача 3

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2026, 9 класс, задача 1

Алиса записала положительные числа a, b, c, d, e (не обязательно целые), а Маруся — числа frac1a, frac1b, frac1c, frac1d, frac1e. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси? (Д. Мухин)
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2025, 9 класс, задача 2

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 6 других? Напомним, что шахматный конь бьёт 8 клеток, как показано на рисунке. Ходы шахматного коня (А. Тертерян)
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 2

Клетки бумажного квадрата 8 × 8 раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата 2 × 2, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.) (Л. Попов, А. Гусев)
Средняя
Комбинаторика