МОШ 2026, 9 класс, задача 1

Средняя
Комбинаторика
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2026, 9 класс

Алиса записала положительные числа , , , , (не обязательно целые), а Маруся — числа , , , , . Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси?

(Д. Мухин)

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: могло.

Решение. Рассмотрим, например, числа , , , , . Их сумма больше суммы их обратных:

С другой стороны, их произведение меньше произведения обратных:

Замечание. Существует множество других примеров. Например, также подойдут числа , , , , при .

Похожие задачи

МОШ 2020, 9 класс, задача 2

Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2025, 9 класс, задача 2

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 6 других? Напомним, что шахматный конь бьёт 8 клеток, как показано на рисунке. Ходы шахматного коня (А. Тертерян)
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2020, 9 класс, задача 3

Три богатыря сражаются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич — треть всех голов и еще две, а Алёша Попович — четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному, в том порядке, в котором считают нужным. Если ни один богатырь
Средняя
Комбинаторика

МОШ 2021, 9 класс, задача 2

Клетки бумажного квадрата 8 × 8 раскрашены в два цвета. Докажите, что Арсений может вырезать из него по линиям сетки два квадрата 2 × 2, не имеющих общих клеток, раскраски которых совпадают. (Раскраски, отличающиеся поворотом, считаются разными.) (Л. Попов, А. Гусев)
Средняя
Комбинаторика