МОШ 2020, 11 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 11 класс, Первый тур

Приведите пример числа, делящегося на , в котором каждая из десяти цифр встречается одинаковое количество раз.

Ответ

Решение. Например, подходит число

(существуют и другие примеры). Поскольку , число делится на , если оно делится на , и . Приведённое число оканчивается на , следовательно, делится на и . Числа вида равны , а поскольку приведённое число раскладывается в сумму чисел вида , оно делится на .

Похожие задачи

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)

Сложная

Алгебра

МОШ 2021, 11 класс, задача 2

Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n⁷-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Сложная

Алгебра