МОШ 2020, 11 класс, задача 1
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью втрое меньшей скорости автобуса и способен увидеть автобус на расстоянии не более км?
Ответ. км.
Первое решение. Если мальчик отъедет от остановки не более чем на м, то он успеет вернуться к приезду автобуса, который за это время проедет до остановки не более м. Если мальчик отъедет от остановки на расстояние, большее м, то вернуться на неё до приезда автобуса он уже не успеет, значит, чтобы не упустить автобус, он должен продолжить движение до следующей остановки. Если мальчик заметит автобус, когда до второй остановки останется не более км, то он сможет продолжить движение и оказаться на остановке не позднее автобуса, который за это время проедет не более км. Таким образом, наибольшее расстоянии между остановками, при котором мальчик гарантированно не упустит автобус, равно км.
Второе решение. Если мальчик с того момента, как он заметил автобус, проехал расстояние , то автобус проехал расстояние . Предположим, что мальчик поехал навстречу автобусу и приехал на остановку одновременно с автобусом, тогда , следовательно, мальчик проехал км до остановки, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше км, то мальчик на неё не успеет. Если он продолжил ехать в том же направлении, что ехал изначально, и приехал на остановку одновременно с автобусом, то , следовательно, мальчик проехал км, поэтому если расстояние до этой остановки будет больше км, то мальчик на неё не успеет. Таким образом расстояние между остановками не должно превышать км.