МОШ 2020, 11 класс, задача 6
На доске написаны последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на сумму и разность чисел этой пары (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся последовательных чисел.
Решение. Рассмотрим набор из подряд идущих чисел, квадраты этих чисел имеют тот же набор остатков при делении на , что и набор чисел , , , ..., . Поскольку
,
сумма квадратов подряд идущих чисел делится на , но не делится на .
Представим число в виде , где нечётно. Тогда сумма последовательных квадратов разбивается на сумм вида , где все нечётны, поэтому вся сумма также делится на , но не делится на . Следовательно, наибольшая степень двойки, на которую делится сумма квадратов последовательных чисел, зависит только от , но не от самих чисел.
В то же время сумма квадратов имеющихся чисел после замены удваивается. Действительно, заменив числа и на и , получим: . Таким образом, снова получить набор из подряд идущих чисел нельзя.