МОШ 2020, 10 класс, задача 5
На доске написаны последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся последовательных целых чисел.
Ответ
Решение. Поскольку , то сумма квадратов всех чисел на доске увеличивается в два раза с каждым ходом. Из формулы
ясно, что сумма квадратов последовательных целых чисел даёт остаток при делении на . Значит, сумма квадратов последовательных целых чисел тоже даёт остаток при делении на .
Таким образом, после первого хода сумма квадратов чисел на доске всегда будет делиться на , и, следовательно, на доске никогда больше не появятся последовательных целых чисел.
Замечание. Число в условии этой задачи можно заменить на произвольное чётное число. Доказательство основано на том, что сумма квадратов последовательных целых чисел даёт остаток при делении на .