МОШ 2020, 11 класс, задача 3

Первое решение.

Отметим середины и сторон и соответственно (см. рис.). Заметим, что треугольник — прямоугольный, а точка — середина его гипотенузы . Значит, . Поскольку точки и симметричны относительно прямой , то . Следовательно, точки , , , лежат на одной окружности с центром в точке . Отсюда , так как эти углы опираются на одну дугу .

Обозначим точку пересечения прямых и через . Заметим, что из-за симметрии точек и относительно прямой . Кроме того, как средняя линия треугольника . Таким образом, . Отсюда следует, что . С другой стороны, заметим, что если точка — центр описанной окружности треугольника , то как центральный угол, и из суммы углов равнобедренного треугольника получаем, что . Имеем , а значит, точки , и действительно лежат на одной прямой.

Второе решение. Воспользуемся теоремой о прямой Штейнера.

Прямая Штейнера. Точки, симметричные произвольной точке описанной окружности треугольника относительно его сторон, лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника .

Несложно заметить, что точка лежит на окружности, проходящей через середины сторон треугольника (это окружность девяти точек треугольника ). По условию точка симметрична точке относительно средней линии, параллельной стороне . Заметим, что точка симметрична точке относительно средней линии, параллельной стороне . Получается, что прямая — это прямая Штейнера точки относительно серединного треугольника (треугольника, образованного серединами сторон треугольника ). Тогда на этой прямой лежит ортоцентр серединного треугольника, который и является центром описанной окружности треугольника .