МОШ 2020, 10 класс, задача 2
Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин.
Ответ
Решение. Обозначим количество фильмов за . Представим, что человек купил билеты на те фильмы, которые ему понравились. Тогда всего продано билетов, причем поскольку мужчинам и женщинам продано одинаковое количество билетов, то билетов купили мужчины и — женщины. Тогда фильмов, на которых хотя бы из билетов продано женщинам, не более чем , значит, других хотя бы , а это и есть фильмы, понравившиеся хотя бы мужчинам.