МОШ 2020, 10 класс, задача 4

Точка — центр описанной окружности треугольника . Серединный перпендикуляр к пересекает и в точках и . Прямая пересекает прямую в точке , — середина . Описанная окружность треугольника пересекает описанную окружность треугольника в точке , отличной от . Докажите, что прямая касается описанной окружности треугольника .

Ответ

Решение. Заметим, что касается описанной окружности треугольника , так как . Пусть F — точка на окружности, описанной около , такая что . Ясно, что = =. Получаем, что E, M и F лежат на одной прямой. Кроме того,, что значит, что E, Y, M и C лежат на одной окружности. Далее,= =, т. е. E лежит на описанной окружности треугольника . Тогда — касательная, так как и — касательная к окружности .

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 5

На плоскости даны две окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом. На окружности ω₁ выбран диаметр AB, а на окружности ω₂ выбран диаметр CD. Рассмотрим всевозможные положения точек A, B, C и D, при которых ABCD -- выпуклый описанный четырёхугольник, и п

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 11 класс, задача 3

В треугольнике ABC высоты BE и CF пересекаются в точке H, точка M — середина стороны BC, а X — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники BMF и CME. Докажите, что точки X, M и H лежат на одной прямой. (И. Н. Михайлов)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2022, 9 класс, задача 5

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны. Рисунок к условию задачи 5 (А. Кушнир)

Очень сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 11 класс, задача 4

Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию? (О. Н. Косухин)

Очень сложная

Планиметрия