МОШ 2020, 10 класс, задача 4
Точка — центр описанной окружности треугольника . Серединный перпендикуляр к пересекает и в точках и . Прямая пересекает прямую в точке , — середина . Описанная окружность треугольника пересекает описанную окружность треугольника в точке , отличной от . Докажите, что прямая касается описанной окружности треугольника .
Решение. Заметим, что касается описанной окружности треугольника , так как . Пусть F — точка на окружности, описанной около , такая что . Ясно, что = =. Получаем, что E, M и F лежат на одной прямой. Кроме того,, что значит, что E, Y, M и C лежат на одной окружности. Далее,= =, т. е. E лежит на описанной окружности треугольника . Тогда — касательная, так как и — касательная к окружности .