МОШ 2020, 11 класс, задача 5
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены точки и . Известно, что и — положительные числа, а их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая ближе к , то он прыгает вправо на расстояние, равное . Если же он находится в середине отрезка или в точке, которая ближе к , то он прыгает влево на расстояние, равное . Докажите, что независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент окажется от точки на расстоянии, меньшем .
Первое решение. Сначала покажем, что расстояние до ближайшего целого числа от числа вида (где , — иррациональное и — любое фиксированное число) можно выбором сделать сколь угодно малым. Рассмотрим чисел , , , ..., . Их дробные части попадают в один из промежутков
.
Тогда по принципу Дирихле найдутся два числа и (), дробные доли которых попали в один и тот же промежуток. Их разность также является числом вида , причём, поскольку разность их дробных частей по модулю меньше , для некоторого целого верно неравенство
.
Следовательно, существует такое число , что . Выберем натуральное число так, что выполняется одно из двойных неравенств или . Тогда найдётся такое целое число , что , т. е.
.
Следовательно,
где . Значит, расстояние от целого числа до числа меньше . Увеличивая значение , можно сделать это расстояние сколь угодно малым.
Без ограничения общности будем считать, что . При преобразовании подобия прямой с коэффициентом точка перейдёт в точку , а точка — в точку . Кузнечик теперь будет прыгать на вправо и на влево. В некоторый момент кузнечик пересечёт середину отрезка прыжком на вправо и попадёт в некоторую точку . После этого кузнечик никогда не будет делать прыжки длины более одного раза подряд. При прыжке на дробные доли точек, в которых кузнечик находился до и после прыжка, одинаковые.
Пусть кузнечик находится в точке . Выберем такое натуральное число , что расстояние от до ближайшего целого меньше . Если кузнечик сделает прыжков влево, он будет находиться на расстоянии менее от какого-то целого числа, независимо от того, сколько при этом он совершил прыжков вправо на . Поскольку точка находится левее середины нашего отрезка, то, прыгая на вправо, кузнечик обязательно окажется на расстоянии менее от точки , а на исходной прямой — на расстоянии, меньшем от точки .
Второе решение. Независимо от своего начального положения кузнечик рано или поздно окажется на промежутке . Действительно, если , то он будет прыгать вправо на , пока не перепрыгнет точку и не окажется на промежутке , а если , то он будет прыгать влево на , пока не перепрыгнет точку и не окажется на промежутке .
При дальнейших прыжках кузнечик уже не покинет промежутка : оказавшись на , он прыгает влево на и попадает на , а оказавшись на , он прыгает вправо на и попадает на .
Если склеить промежуток в окружность той же длины , то указанные прыжки кузнечика на этой окружности будут уже прыжками в одну сторону на (или в другую сторону на , что на данной окружности — одно и то же). Поскольку отношение прыжка к длине окружности иррационально, следы кузнечика будут всюду плотны на окружности, то есть рано или поздно кузнечик попадёт на всякую дугу окружности. Следовательно, и на исходном промежутке следы кузнечика всюду плотны, так что рано или поздно он попадёт в любую наперёд заданную окрестность нуля.