МОШ 2025, 11 класс, задача 3
Пусть — центр описанной окружности остроугольного треугольника . На стороне отметили точку . Окружности, описанные около треугольников и , повторно пересекают отрезки и в точках и соответственно. Докажите, что из отрезков , и можно сложить треугольник.
(А. Соколов)
Решение. Поскольку четырёхугольники , вписанные, то . Так как
точки и лежат по разные стороны от прямой . В частности, мы показали, что точка лежит строго внутри треугольника .
Тогда
поэтому четырёхугольник также является вписанным.
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть точка , отличная от , на отрезке такова, что (рис. 1). Тогда поскольку треугольник равнобедренный, . Заметим, что
Значит, , откуда следует (вне зависимости от порядка расположения точек и на отрезке ), что точки , , и лежат на одной окружности. Следовательно,
Поэтому треугольник равнобедренный и . Получаем, что треугольник составлен из отрезков , и , равных , и соответственно, что и требовалось.
Второй способ. Пусть точки , симметричны точкам и относительно середин и сторон и соответственно (рис. 2). Поскольку — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, . Тогда из четырёхугольников , находим . Не ограничивая общности, предположим, что лежит на отрезке . Поскольку , точка лежит на отрезке . Получаем, что
Следовательно, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними (на самом деле, мы показали, что они совмещаются поворотом с центром в точке на угол ). Тогда . Поскольку , из симметрии, получаем, что треугольник составлен из отрезков, равных , и , что и требовалось.
Третий способ. По теореме синусов радиус окружности, описанной около , равен , а радиус окружности, описанной около , равен . Поскольку , , получаем, что радиусы этих двух окружностей равны. Проводя аналогичное рассуждение для четырёхугольников и , получаем, что радиусы окружностей, описанных около всех трёх четырёхугольников , и равны. Обозначим эти окружности , , соответственно (рис. 3). Для того чтобы показать, что из отрезков , , можно сложить треугольник, достаточно проверить, что вписанные углы, опирающиеся на эти отрезки в окружностях , , соответственно, в сумме дают .
Убедимся в этом. Заметим, что
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Замечание. Отметим, что во всех трёх способах решения неявно предполагается, что точки и отличны от . Тем не менее все три рассуждения можно уточнить и в противном случае. Например, если точка совпадёт с точкой , то утверждение о вписанности четырёхугольника из решения нужно заменить на утверждение о касании описанной окружности треугольника стороны в точке .