МОШ 2025, 11 класс, задача 1

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2025, 11 класс, Второй тур

Между двумя восьмёрками в числе вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.

(М. Евдокимов)

Решение. Рассмотрим выражение . Заметим, что если натуральное число оканчивается на (всего нуль, где — натуральное), то это выражение примет значение, оканчивающееся на ( нулей между восьмёрками):

Поэтому можно дописать несколько цифр в начало нового числа так, чтобы получилось число .

Замечание. Подходит также число .

Похожие задачи

МОШ 2025, 10 класс, задача 1

Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател

Сложная

Алгебра

МОШ 2026, 10 класс, задача 2

Дано квадратное уравнение ax²+bx+c=0 с целыми ненулевыми коэффициентами a, b и c, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на 1, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 11 класс, задача 5

Таня последовательно выписывала числа вида n⁷-1 для натуральных чисел n=2,3,ldots и заметила, что при n=8 полученное число делится на 337. А при каком наименьшем n>1 она получит число, делящееся на 2022? (Т. А. Гарманова)

Сложная

Алгебра

МОШ 2022, 9 класс, задача 1

У каждого из девяти натуральных чисел n, 2n, 3n,..., 9n выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном n среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных? (А. Толпыго)

Сложная

Алгебра