МОШ 2025, 11 класс, задача 1
Между двумя восьмёрками в числе вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом.
(М. Евдокимов)
Ответ
Решение. Рассмотрим выражение . Заметим, что если натуральное число оканчивается на (всего нуль, где — натуральное), то это выражение примет значение, оканчивающееся на ( нулей между восьмёрками):
Поэтому можно дописать несколько цифр в начало нового числа так, чтобы получилось число .
Замечание. Подходит также число .