МОШ 2025, 11 класс, задача 3
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием . Их вершины и лежат по разные стороны от плоскости . Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.
(М. Евдокимов)
Решение. Первый способ. Пусть рёбра , , параллельны граням , и соответственно. Проведём через , , плоскости, которые параллельны , и соответственно. Получается параллелепипед, пять вершин которого совпадают с вершинами наших пирамид (рис. 1). Пусть — объём этого параллелепипеда. Тогда объём пирамиды равен , как и объём трёх других пирамид, основаниями которых являются грани тетраэдра . Поэтому объём пирамиды равен , т. е. вдвое больше объёма пирамиды , что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть — точка пересечения медиан треугольника (рис. 2). Пусть , , — плоскости, проходящие через точки , , , параллельные плоскостям , , соответственно. Поскольку , точка лежит в плоскости . Аналогично, она лежит и в плоскостях и . Пусть — образ точки при гомотетии с центром в точке и коэффициентом . При этой гомотетии середина отрезка переходит в , поэтому плоскость переходит в плоскость . Значит, . Аналогично, и . Плоскости , , имеют единственную общую точку, поэтому их образы , , при рассматриваемой гомотетии тоже имеют единственную общую точку. Таким образом, получаем, что . По построению точки расстояние от неё до плоскости в два раза больше, чем расстояние от до этой плоскости, поэтому объём пирамиды (она же ) вдвое больше объёма пирамиды .