МОШ 2026, 10 класс, задача 6
Дано натуральное . Симметрический многочлен таков, что уравнение имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного-единственного набора . Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого найдите наименьшую возможную степень многочлена .
Многочлен называется симметрическим, если он не меняется при любой перестановке своих переменных. Степенью многочлена от нескольких переменных называется наибольшая из сумм показателей степеней переменных в ненулевых слагаемых (одночленах) многочлена , записанного в стандартном виде. Например, у многочлена степень равна (так как , а это больше, чем ).
Ответ: для любого .
Решение. Рассмотрим многочлен четвёртой степени
Если , то и для всех . В таком случае одно из чисел этого набора должно быть равно единице, а все остальные числа равны нулю. Таким образом, данный многочлен подходит под условие.
Теперь покажем, что степень многочлена не может быть меньше четырёх. Без ограничения общности, будем считать, что . Рассмотрим многочлен от двух переменных. Ясно, что — симметрический и только при . Заметим, что , поэтому достаточно показать, что . Таким образом, мы свели оценку только к случаю .
Предположим, что . Запишем в стандартном виде. Возьмём произвольное число , отличное от и . Рассмотрим многочлен от одной переменной. Он не может быть первой или третьей степени, т.к. иначе он имел бы корень, поэтому (нулевой степени, очевидно, быть не может). В таком случае мономов (и соответственно) в разложении не будет. Тогда мономов и также быть не может, иначе был бы третьей степени и имел корень.
Таким образом, мы можем представить наш многочлен в виде , где . Без ограничения общности, будем считать, что . Рассмотрим уравнение , оно должно иметь ровно корня и . Получаем параболу с ветвями вверх и двумя корнями, поэтому у неё найдётся и отрицательное значение . Осталось заметить, что является также параболой с ветвями вверх и отрицательным значением, поэтому имеет два корня, что противоречит условию.