Высшая проба 2025, 8 и 9 классы
( баллов) К стене приколочена клетчатая доска размера . Сколькими способами можно раскрасить её клетки в белый и чёрный цвета так, чтобы в каждом квадрате было по две клетки каждого цвета?
Ответ. .
Решение. Назовём раскраску горизонтальной, если во всех строках цвета чередуются, аналогично назовём раскраску вертикальной, если во всех столбцах цвета чередуются. Назовём раскраску хорошей, если она удовлетворяет условию задачи. Ясно, что две шахматные раскраски, и только они, являются одновременно горизонтальными и вертикальными. Если в хорошей раскраске две соседние по горизонтали (соответственно, вертикали) клетки покрашены в один цвет, то такая раскраска будет вертикальной (соответственно, горизонтальной): две соседние клетки одного цвета по горизонтали однозначно задают чередующуюся раскраску столбцов, в соседнем столбце цвета тоже должны чередоваться, и т.д. Если же в хорошей раскраске такого нет, то она шахматная. Значит, любая хорошая раскраска является горизонтальной или вертикальной. Получаем, что количество хороших раскрасок равно количеству горизонтальных раскрасок плюс количество вертикальных раскрасок минус количество шахматных раскрасок. Горизонтальных раскрасок будет , потому что такая раскраска однозначно задаётся раскрашиванием первого столбца. В нём клеток, каждую можно покрасить двумя способами. Аналогично считается количество вертикальных раскрасок. В итоге получаем .
Верное решение.
Задача решена верно, но не учтены шахматные раскраски.
Раскраски посчитаны только по столбцу или строке; отсутствует доказательство того, что других вариантов нет.
Есть рассуждения о том что две соседние по горизонтали (вертикали) клетки однозначно задают раскраску по двум столбцам (строкам).
Снижение баллов за каждый нерассмотренный случай.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.