(15 баллов) Дан выпуклый многогранник. Разделим длину каждого ребра на сумму длин остальных рёбер и вычислим сумму полученных дробей. Докажите, что полученная сумма меньше 1,5.
Сложная
Неравенства
Стереометрия
Высшая проба 2025, 11 класс, задача 2
(15 баллов) Многочлен P(x) со старшим коэффициентом 1 имеет только целые коэффициенты, среди которых есть отрицательные. Обязательно ли многочлен (P(x))2025 имеет хотя бы один отрицательный коэффициент?
Сложная
Алгебра
Высшая проба 2025, 11 класс, задача 3
(15 баллов) Дан шестиугольник ABCDEF, в котором AF = CD, BC = EF, angle A + angle D = angle B + angle E = 180circ. Докажите, что 2CF ≥ AB + DE.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2025, 11 класс, задача 4
(15 баллов) В комплекте для сборки игрушечного поезда есть один локомотив (который всегда расположен спереди), 2n одинаковых красных вагонов и 3n одинаковых жёлтых вагонов. Назовём поезд длинным, если в нём есть хотя бы n вагонов (не считая локомотива). Сколько различных длинных поездов можно собрат
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 11 класс, задача 5
(20 баллов) Саша и Гоша поставили 2025 фишек в клетки доски 1000 × 1000 и по очереди ходят. Саша своим ходом может взять две фишки, стоящие в левом верхнем и правом нижнем углу некоторого клетчатого прямоугольника (со сторонами больше 1), и поместить их по одной в две другие угловые клетки того же п
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 11 класс, задача 6
(20 баллов) При каких n ≥ 2025 существует такой набор из n прямоугольников, что из них можно собрать прямоугольник (без пустот и наложений), а из любого меньшего их подмножества, состоящего из хотя бы двух прямоугольников, — нельзя?
(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Высшая проба 2025, 10 класс, задача 2
(15 баллов) Дана двусторонняя линейка без делений. Этот инструмент позволяет делать две операции: 1) провести прямую через две данные точки; 2) провести прямую, параллельную данной, на расстоянии 1 от нее. Постройте с её помощью (и не используя никакие другие инструменты) правильный треугольник.
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2025, 10 класс, задача 3
(15 баллов) На плоскости отмечено 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Между каждыми двумя проведён либо красный, либо синий отрезок. Красные отрезки не имеют общих точек, кроме, возможно, отмеченных точек. Обязательно ли найдётся треугольник с вершинами в отмеченных точках, все
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 10 класс, задача 4
(15 баллов) Разрежьте фигуру, составленную из одинаковых равносторонних треугольников (см. рисунок), на три (не обязательно равные) части и сложите из них равносторонний треугольник. Фигура
Сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 10 класс, задача 5
(20 баллов) По кругу стоит несколько коробок. В одной из них 2025 камней, а остальные пусты. Разрешается взять два камня (возможно, из разных коробок) и переложить один в соседнюю коробку по часовой стрелке, а другой — в соседнюю против часовой стрелки. Через некоторое время все камни оказались в од
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 10 класс, задача 6
(20 баллов) Существует ли функция f, определённая на всей числовой прямой, такая, что для любого x выполнено равенство f(f(x)) = x2 - x - 1?
(15 баллов) Саша придумал новое умножение: a diamond b = dfrac{1}{b} + dfrac{1}{a}. Вычислите (ldots((1 diamond 2) diamond 3)ldots) diamond 2025.
Средняя
Алгебра
Высшая проба 2025, 9 класс, задача 2
(15 баллов) Можно ли заполнить квадратную таблицу 36 × 36 действительными числами таким образом, чтобы в каждом квадрате 9 × 9 сумма чисел была не меньше 41, а в каждом прямоугольнике 8 × 10 (горизонтальном или вертикальном) сумма чисел не превосходила 40?
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 9 и 10 классы
(15 баллов) Даны многочлены P(x) и Q(x), оба степени n со старшими коэффициентами 1. У каждого из них ровно n различных целых корней. Известно, что все корни многочлена P(x) чётны, а все корни многочлена Q(x) нечётны. Докажите, что у многочлена P(x) + Q(x) не может быть целых корней.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Высшая проба 2025, 8 и 9 классы
(15 баллов) К стене приколочена клетчатая доска размера n × n. Сколькими способами можно раскрасить её клетки в белый и чёрный цвета так, чтобы в каждом квадрате 2 × 2 было по две клетки каждого цвета?
Очень сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 9 класс, задача 5
(20 баллов) Покажите, как разрезать правильный треугольник на многоугольные куски, из которых можно сложить квадрат. Куски разрешается параллельно переносить или поворачивать на 180circ, а все другие преобразования запрещены.
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 9 класс, задача 6
(20 баллов) На клетчатой бумаге выбрали n подряд идущих по горизонтали клеток и отметили все их вершины (получили 2n + 2 отмеченных точек). Алиса и Боб играют в игру. Они ходят по очереди, и каждый в свой ход соединяет отрезком две отмеченные точки, соседние по горизонтали или вертикали. Первой ходи
(15 баллов) Натуральные числа от 1 до 50000 выписаны в строку по порядку. Сколько раз в этой последовательности цифр встречается комбинация из четырёх подряд идущих цифр 2, 0, 2, 5 (именно в таком порядке)?
Сложная
Теория чисел
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 8 класс, задача 2
(15 баллов) Квадрат состоит из четырёх ячеек. В каждой ячейке изначально записана единица. За один ход можно сделать одно из двух действий. Первое возможное действие: можно выбрать верхнюю или нижнюю строку и любые числа x и y, каждое из которых не меньше 1 и не больше 2, а затем умножить левое числ
Сложная
Алгебра
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 8 класс, задача 3
(15 баллов) Дан лист бумаги в форме треугольника площади 1. Верно ли, что из него обязательно можно вырезать два прямоугольника суммарной площади 2/3?
Сложная
Планиметрия
Высшая проба 2025, 8 класс, задача 4
(15 баллов) В лаборатории 100 лампочек, к каждой из лампочек подключено по кнопке. Нажатие кнопки включает лампочку, с которой она соединена, если эта лампочка выключена, и выключает, если включена. За одну операцию можно нажать на две соседние кнопки. Изначально включено чётное число лампочек. Како
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 8 класс, задача 5
(20 баллов) Из 18 квадратиков со стороной 1 и четвертинки круга радиуса 1 собрали фигуру, а затем из неё вырезали круг радиуса 1 (см. рисунок). Разрежьте полученную фигуру на три равные по форме и размеру части.
Очень сложная
Планиметрия
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 8 и 9 классы
(15 баллов) К стене приколочена клетчатая доска размера n × n. Сколькими способами можно раскрасить её клетки в белый и чёрный цвета так, чтобы в каждом квадрате 2 × 2 было по две клетки каждого цвета?
(15 баллов) У Миши есть толстые и тонкие книги, при этом все толстые книги имеют одинаковую толщину, все тонкие — тоже. Три стопки, в каждой из которых по 5 книг, имеют толщину 11, 35 и 47 сантиметров. Чему может быть равна толщина стопки из 7 толстых и 3 тонких книг? Приведите все возможные вариант
Средняя
Алгебра
Теория чисел
Высшая проба 2025, 7 класс, задача 2
(15 баллов) Заяц и лиса играют в следующую игру. На рисунке справа поляны изображены кружками; поляны называются соседними, если они соединены дорожкой. Сначала заяц выбирает одну из 7 полян, потом лиса выбирает одну из оставшихся 6 полян. Затем заяц и лиса по очереди (начиная с зайца) переходят на
Средняя
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 7 класс, задача 3
(15 баллов) Дробь с натуральными числителем и знаменателем называется удачной, если она равна дроби с натуральными числителем и знаменателем, у которой числитель меньше знаменателя на 1. Например, дробь (4/6) — удачная. Сколько существует удачных дробей со знаменателем 2025?
Средняя
Теория чисел
Высшая проба 2025, 7 класс, задача 4
(15 баллов) Дан лист бумаги в форме прямоугольного треугольника площади 1. Докажите, что из него можно вырезать два прямоугольника суммарной площади (2/3).
Средняя
Планиметрия
Высшая проба 2025, 7 класс, задача 5
(20 баллов) Анастасия, Борис и Владлен познакомились с Георгием и захотели узнать, какая у него дата рождения. Георгий ответил, что его день, месяц и год рождения составляют одну из следующих дат: 11 января 2011 года 11 февраля 2011 года 11 марта 2011 года 12 февраля 2011 года 11 января 2012 года 11
Сложная
Комбинаторика
Высшая проба 2025, 7 класс, задача 6
(20 баллов) Король придумал испытание для двух мудрецов. Их отведут в разные комнаты и назовут им по натуральному числу от 1 до 16, при этом их числа будут отличаться либо на 5, либо на 11. После этого каждый мудрец пишет на своей карточке какое-то натуральное число, затем король относит карточку пе
