Высшая проба 2025, 9 класс, задача 5
( баллов) Покажите, как разрезать правильный треугольник на многоугольные куски, из которых можно сложить квадрат. Куски разрешается параллельно переносить или поворачивать на , а все другие преобразования запрещены.
Ответ
Решение. Пример . На рисунке показана последовательность элементарных операций, переводящая равносторонний треугольник со стороной и площадью в квадрат той же площади.
Сторона квадрата в этом случае имеет длину . Каждая операция состоит в отрезании от имеющейся фигуры треугольника и приклеивании его копии с другой стороны; при этом копия отличается от оригинала либо параллельным переносом, либо поворотом на градусов. Осуществимость всех указанных операций подтверждается элементарными неравенствами, например, второй столбец осуществим в силу неравенств . Заметим, что все операции, кроме самой первой, осуществляются только параллельными переносами.
Пример . (Разрезание Дьюдени.)
Пример . Здесь одна сторона треугольника параллельна одной из сторон квадрата.
Примеры и приведены здесь без доказательств, которые обязаны присутствовать в верном решении.
Замечание. Можно доказать, что если запретить повороты совсем (даже на ), то правильный треугольник не получится пересобрать в квадрат (и вообще, ни в какой параллелограмм).