Высшая проба 2025, 7 класс, задача 1
( баллов) У Миши есть толстые и тонкие книги, при этом все толстые книги имеют одинаковую толщину, все тонкие — тоже. Три стопки, в каждой из которых по книг, имеют толщину , и сантиметров. Чему может быть равна толщина стопки из толстых и тонких книг? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Ответ. сантиметров.
Решение. Разделим каждую толстую книгу на две части: одну тонкую книгу и одну дополнительную. Тогда в каждой стопке из книг тонких книг и не более дополнительных. Первая и третья стопки отличаются по высоте на сантиметров, а значит, толщина дополнительной книги не менее сантиметров. С другой стороны, первая и вторая стопки отличаются на сантиметров. Если эти сантиметров состоят из хотя бы двух дополнительных книг, толщина каждой будет не более сантиметров, что меньше сантиметров. Значит, толщина дополнительной книги равна сантиметрам. Заметим, что толщина первой стопки равна сантиметрам, а значит, в ней нет ни одной дополнительной книги. Из этого следует, что толщина тонких книг равна сантиметрам. Осталось заметить, что стопка из толстых книг и тонких состоит из тонких книг и дополнительных, а значит, её толщина равна сантиметрам.
Верное решение.
Обоснованно получен ответ 106 см, но не доказана единственность.
Приведен только ответ.
Решение не соответствует ни одному из критериев выше.