Высшая проба 2024, 8 класс, задача 4
( баллов) Найдите все пары целых , для которых верно равенство
Решение.
Заметим, что из-за области определения квадратного корня. Если , то . Получили решение , далее полагаем, что .
Возведём в квадрат обе части уравнения (это можно сделать, т. к. с обеих сторон неотрицательные числа). Имеем:
Правая часть последнего уравнения неотрицательна, поэтому . Возведя уравнение в квадрат ещё раз, получаем:
Последний переход возможен в силу положительности .
Заметим, что при правая часть не больше , однако больше нуля, поэтому такие случаи нам не подходят. Значит, . Вспоминая, что , понимаем, что достаточно рассмотреть случаи и .
При получаем, что , что невозможно для натуральных .
При получаем, что , откуда . Итак, второе решение — пара .
Ответ: , .
B1 имогут применяться одновременно.